傅里叶变换

三角函数系及正交性

这是傅里叶变换的数学基础

现规定两函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 与区间 $[a,b]$，且两函数在该区间上可积且平方可积，定义函数的内积为：

$$ \langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx $$

若在区间 $[a,b]$ 上有 $\langle f,g\rangle=0$，则称 $f$ 与 $g$ 在该区间上正交

对于集合 $\{f_0,f_1,\dots,f_n\}$，若对于任意 $m\neq n$，都有 $\langle f,g\rangle=0$，则称该函数集合为正交函数系

如何理解函数的内积？

从向量的内积入手，对于向量 $\vec a=(a_0,a_1,\dots,a_n)$ 和 $\vec b=(b_0,b_1,\dots,b_n)$，他们的内积为：

$$ \vec a\cdot\vec b=\sum_{i=0}^n a_ib_i $$

我们把离散的序列换成连续的函数，求和变成积分，就能得到函数的内积

由 $\sin nx$ 与 $\cos nx$ 组成的三角函数系

$$ \{1,\sin1x,\cos1x,\dots,\sin nx,\cos nx,\dots\} $$

在任意一个周期（如 $[-\pi,\pi]$）上的正交函数系

很容易证明，直接求积分即可。

对于任意 $n,m\ge 1$ 有：

$$ \langle \sin nx,\cos mx\rangle=0 $$

对于 $n\neq m$，有：

$$ \langle \sin nx,\sin mx\rangle=\langle \cos nx,\cos mx\rangle=0 $$

对于 $n\ge 1$，有：

$$ \langle \sin nx,\sin nx\rangle=\langle \cos nx,\cos nx\rangle=\pi $$

最后，对于 $1$ 来说：

$$ \langle 1, 1\rangle=2\pi $$

为什么集合长这个样子？

实际上，三角函数集合是：

$$ \{\sin nx|n=0,1,\dots\}\cup\{\cos nx|n=0,1,\dots\} $$

而 $\sin 0x=0$，没有意义，所以删掉了 $\sin 0x$

傅里叶级数

任意一个以 $T$ 为周期的周期函数 $f_T$ 都可以展开为不同频率的正弦函数的线性组合，即：

$$ f_T(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\sin(n\omega x+\varphi_n) $$

其中 $\omega=\frac{2\pi}{T}$ 称为基频率，$\frac{a_0}{2}$ 称为直流分量，$a_n$ 是不同正弦分量的振幅，$\varphi_n$ 是相位。

在这个基础上，利用三角函数公式，有：

$$ \sin(n\omega x+\varphi_n)=\sin(n\omega x)\cos(\varphi_n)+\cos(n\omega x)\sin(\varphi_n) $$

所以上面也可以简写为：

$$ f_T(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\sin n\omega x+\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\cos n\omega x $$

我们发现，这是一个以三角函数系为基底的函数

为什么 $f_T$ 展开式是这样子的？

涉及到时域与频域的转换

如何求解参数 $a_0$、$a_n$、$b_n$？

我们需要从 $f_T$ 中摘出 $1$、$\sin n\omega x$、$\cos n\omega x$ 对应的分量

为了方便，我们使用 $f_T(\frac{x}{\omega})$，根据正交性，在 $[-\pi,\pi]$ 上有：

$$ \langle f_T(\frac{x}{\omega}),1\rangle=\frac{a_0}{2}\times 2\pi\\ \langle f_T(\frac{x}{\omega}),\sin nx\rangle=a_n\times \pi\\ \langle f_T(\frac{x}{\omega}),\cos nx\rangle=b_n\times \pi $$

所以，根据 $\omega=\frac{2\pi}{T}$，有：

$$ \begin{align} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f_T(\frac{x}{\omega})\mathrm dx\\ &=\frac{1}{\pi}\times \omega\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(x)\mathrm dx \end{align} $$

同理，有：

$$ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(x)\sin n\omega x\mathrm dx\\ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(x)\cos n\omega x\mathrm dx $$

复指数形式的傅里叶级数

欧拉公式：

$$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $$

从而有：

$$ \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ \sin\theta=\frac{-i(e^{i\theta}-e^{-i\theta})}{2} $$

我们将其代入，可以得到式子：

$$ \begin{align} f_T(x)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\sin n\omega x+\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\cos n\omega x\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\frac{-i(e^{in\omega x}-e^{-in\omega x})}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\frac{e^{in\omega x}+e^{-in\omega x}}{2}\\ &=\frac{a_0}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(b_n-ia_n)e^{in\omega x}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n+ib_n)e^{-in\omega x} \end{align} $$

我们将第一项乘上 $e^0$，第三项改写为 $-n$，统一成 $e^{in\omega x}$ 的形式，得到：

$$ f_T(x)=\frac{a_0}{2}e^0+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(b_n-ia_n)e^{in\omega x}+\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{-1}(a_{-n}+ib_{-n})e^{in\omega x} $$

将参数统一为 $d_n$，得到：

$$ f_T(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}d_ne^{in\omega x} $$

其中：

$$ d_n=\begin{cases} \frac{1}{2}(b_n-ia_n)&n>0 \\ \frac{1}{2}a_0&n=0 \\ \frac{1}{2}(a_{-n}+ib_{-n})&n<0 \end{cases} $$

我们还可以更进一步计算 $d_n$，实际上，可以算出不管 $n$ 的取值，$d_n$ 都可以表示成：

$$ d_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(x)e^{-in\omega x}\mathrm dx $$

所以：

$$ f_T(x)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^{-in\omega t}\mathrm dt\right]e^{in\omega x} $$

虽然展开式存在复数，但是我们计算得到的结果仍然是一个实数

傅里叶变换

上面我们知道了对于周期函数的傅里叶级数，对于非周期函数，我们可以看成是周期无穷大的周期函数，即：

$$ f(x)=\lim_{T\rightarrow +\infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm dt\right]e^{in\omega x} $$

这玩意经过奇奇怪怪的变换可以得到：

$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i2\pi\omega x}\mathrm d\omega\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi\omega t}f(t)\mathrm dt $$

记复数函数 $\hat f$ 为

$$ \hat f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i2\pi xt}\mathrm dt $$

那么有：

$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(t)e^{i2\pi xt}\mathrm dt $$

我们把 $\hat f$ 这个式子叫做傅里叶变换，下面的式子叫做傅里叶逆变换，记作：

$$ \mathcal{F}(f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i2\pi xt}\mathrm dt\\ \mathcal{F}^{-1}(f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i2\pi xt}\mathrm dt $$

关于傅里叶变换，网上的资料都是从形式上进行理解，而没有严格的推导，可能所需要的数学知识较为深入