场与 Nabla 算子

场的概念

一个物理量在空间的分布称为该物理量的场，它可以分为数量场和向量场：

数量场对应函数 $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$
向量场对应函数 $\boldsymbol f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$

Nabla 算子（Hamilton 算子）

Nabla 算子长这个样子：

$$ \nabla =\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial}{\partial x_n} \end{bmatrix}^T $$

它可以直接作用于数量场：

$$ \nabla f=\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix}^T $$

结果是一个向量场

也可以对向量场进行点乘、叉乘（三维）运算：

$$ \nabla \cdot \boldsymbol f=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\cdots+\frac{\partial f_n}{\partial x_n} $$$$ \nabla\times\boldsymbol f=\left\vert\begin{matrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_1 & f_2 & f_3 \end{matrix}\right\vert=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_3}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial z} \\ \frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial f_3}{\partial x} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y} \end{bmatrix} $$

结果分别为数量场、向量场

这三种运算分别代表了梯度、散度、旋度的计算

数量场的梯度

参考方向导数、梯度和法线向量

梯度描述了数量场上的每个点增加速度最快的方向和对应的速度

梯度记作 $\mathrm{grad}\ f$

向量场的散度

散度描述了向量场上的每个点是在“流入/发散”还是在“流出/汇聚”，所以称为散度。这与通量的概念类似

具体定义如下：

设 $\boldsymbol v$ 是区域 $G$ 上的向量场，$M$ 是 $G$ 内一点。在 $G$ 中围绕 $M$ 作任意的封闭曲面 $S$，$V$ 是围成曲面 $S$ 的闭区域，体积为 $\vert V\vert$，$\boldsymbol n$ 是 $S$ 外侧的单位法向量。当区域 $S$ 无线收缩与点 $M$ 时，比值

$$ \frac{1}{\vert V\vert}\iint_S(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol n)\mathrm dS $$

的极限存在，就称该极限为向量场 $\boldsymbol v$ 在点 $M$ 处的散度，记作 $\mathrm{div}\ \boldsymbol v$

如果向量场 $\boldsymbol v$ 的各个分量都存在连续的一阶偏导数，那么可以可以用 nabla 算子计算散度：

$$ \mathrm {div}\ \boldsymbol v=\nabla \cdot \boldsymbol v $$

Gauss 公式：

$$ \iint_S\boldsymbol v\cdot\boldsymbol n\mathrm dS=\iiint_V(\nabla \cdot \boldsymbol v)\mathrm dV $$

即净流出闭合曲面 $S$ 的流量等于曲面空间内所有“源”和“汇”的总和

有时也称高斯公式为散度公式

向量场的旋度

设 $\boldsymbol v$ 是区域 $V$ 上的向量场，$M$ 是 $V$ 内一点。$\boldsymbol n$ 是 $M$ 处朝向特定方向的单位向量。在 $V$ 内过 $M$ 作任意光滑的且与 $\boldsymbol n$ 垂直的曲面元 $S$，面积为 $\Delta S$，边界为跟段光滑的闭曲线 $L$。取 $L$ 的环形方向与 $\boldsymbol n$ 组成右手系。当 $S$ 无线缩于点 $M$，而 $\boldsymbol n$ 保持不变时，平均环量

$$ \frac{1}{\Delta S}\oint_L(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol \tau)\mathrm dl $$

的极限存在，称这个极限为 $\boldsymbol v$ 在 $M$ 处绕方向 $\boldsymbol n$ 的涡量，记为 $\Omega_\boldsymbol n(M)$，并且把这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为向量场 $\boldsymbol v$ 在点 $M$ 的旋度，记为 $\mathrm{rot}\ \boldsymbol v$

其中，$\boldsymbol \tau$ 是曲线在积分处的切向单位向量

同样的，如果向量场 $\boldsymbol v$ 的各个分量都存在连续的一阶偏导数，那么可以可以用 nabla 算子计算旋度：

$$ \mathrm{rot}\ \boldsymbol v=\nabla\times\boldsymbol v $$

Stokes 公式：

$$ \oint_L(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol \tau)\mathrm dl=\iint_S(\nabla \times \boldsymbol v)\cdot\boldsymbol n\mathrm dS $$

即整个环绕效应由无数微小旋转的叠加形成，左侧是整体的旋转，右侧是每个局部旋转（旋度）在对应法向量上的分量