§ 参考资料 共 1 条
方向导数
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 处可微分，那么函数在该点沿任意方向 $l$ 的方向导数存在，且有：
$$ \frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta $$其中 $\cos\alpha$ 和 $\cos\beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦。
证：
可微分，所以根据全微分的定义有：
$$ \begin{aligned} f(x&+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) \end{aligned} $$设 $\Delta x=t\cos\alpha$，$\Delta y=t\cos\beta$，则有：
$$ \begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{f(x+t\cos\alpha,y+\cos\beta)-f(x,y)}{t}\\ =\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta \end{aligned} $$梯度
方向导数说明了 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处沿着某方向的导数与该点的函数值和方向有关，改写一下方向导数的式子：
$$ \frac{\partial f}{\partial l}= \left(\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} \cos\alpha \\ \cos\beta \end{matrix}\right) =\vec v\cdot \vec{e_l} $$当两个向量共线时，方向导数最大，此时方向为 $\left(\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}\right)$，大小为 $\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}$，所以方向导数最大为：
$$ \max{\left\{{\frac{\partial f}{\partial l}}\right\}}=\frac{\partial f}{\partial x}\vec i+ \frac{\partial f}{\partial y}\vec j $$这个最大值叫做梯度，表示为：
$$ \nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec i+ \frac{\partial f}{\partial y}\vec j $$梯度的方向是函数变化率最大的方向，梯度的模是最大变化率。
法线向量
多元函数的梯度为对应隐函数描绘的曲面的法向量，例如：
$$ z=f(x,y) $$是一个二元函数，它的梯度为：
$$ \nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec i+ \frac{\partial f}{\partial y}\vec j $$对应的隐函数描绘的曲线为：
$$ f(x,y)=C $$它的法线向量即：
$$ \nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec i+ \frac{\partial f}{\partial y}\vec j $$且法向量朝向多元函数值增大的方向。