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球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分，它实际上形成了一个完备的正交基
拉普拉斯方程
场相关概念参考 场与 Nabla 算子
对于数量场 $f$，拉普拉斯（Laplace）算子定义如下：
$$ \Delta f=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} $$即先做计算梯度，然后再计算散度，得到的仍然是数量场。也可以写作 $\nabla^2f$
它衡量了数量场 $f$ 在某个点处相对于其周围点有多“小”：
- 当 $\Delta f$ 越小时，说明梯度更倾向于“汇入”，说明相邻的点更倾向于比它小
- 反之，当 $\Delta f$ 越大时，相邻的点更倾向于比它大
- 当 $\Delta f = 0$ 时，相邻的点倾向于比它大的与倾向于比它小的“对半开”
还有一个更容易理解的方法，参考流体力学，梯度可以理解为速度，速度的散度可以这么理解：
- 速度的散度越大，说明在这个时刻，这个点对应的“流体微团”更容易扩散出去
- 速度的散度越小，说明在这个时刻，这个点周围的“流体微团”更容易汇聚过来
拉普拉斯方程即：
$$ \Delta f=0 $$它描述了一种平衡状态，即在任意时刻，所有的“流体微团”正常流动，数量场的“形状”不会改变
球坐标形式及微分方程
球坐标系即：
$$ \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi \\ y=r\sin\theta\sin\varphi \\ z=r\cos\theta \end{cases} $$代入拉普拉斯方程得到：
$$ \Delta f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2}=0 $$通过分离变量法，可以得到一组形式解，它们实际上是正交完备的，可以张出整个解空间
设 $f(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$，得到三个微分方程：
$$ \begin{cases} \frac{\mathrm d}{\mathrm d r}\left(r^2\frac{\mathrm d R}{\mathrm d r}\right)-l(l+1)R=0 \\ \frac{\mathrm d^2\Phi}{\mathrm d\varphi^2}+m\Phi=0 \\ \sin\theta\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)-[l(l+1)\sin^2\theta+m]\Theta=0 \end{cases} $$其中，$l$ 和 $m$ 都是分离常数
接下来就是求解这三个微分方程
勒让德微分⽅程
第三个微分方程是连带勒让德方程，即：
$$ \sin\theta\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)-[l(l+1)\sin^2\theta+m]\Theta=0 $$令 $x=\cos\theta$，$y(x)=\Theta(\theta)$，那么：
$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}&=-\sin\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm dx} \\ \frac{\mathrm d^2\Theta}{\mathrm d\theta^2}&=-\cos\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm dx}+\sin^2\theta\frac{\mathrm d^2\Theta}{\mathrm dx^2} \end{aligned} $$代入得到：
$$ (1-x^2)\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-2x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y=0 $$当 $m=0$ 时，可以化成：
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)-l(l+1)\Theta&=0 \\ (1-x^2)\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-2x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+l(l+1)y&=0 \end{aligned} $$这两个式子都可以称为勒让德微分方程
勒让德多项式与第二类勒让德函数
假设勒让德方程有幂级数解，即：
$$ y=\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^k=C_0+C_1x+C_2x^2+\cdots $$其中，$C_k$ 是系数，代入化简后得到这样的式子：
$$ \sum_{k=0}^{\infty}[(k+2)(k+1)C_{k+2}-(k-l)(k+l+1)C_k]x^k=0 $$所以：
$$ C_{k+2}=\frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+2)(k+1)}C_k $$这是一个双间隔递推式子，我们将奇偶分开，上面的 $y(x)$ 可以化成一个只带 $C_0$ 和 $C_1$ 的式子：
$$ y=C_0y_0+C_1y_1 $$其中：
$$ \begin{aligned} y_0&=1-\frac{l(l+1)}{2!}x^2+\frac{(l-2)l(l+1)(l+3)}{4!}x^4-\frac{(l-4)(l-2)l(l+1)(l+3)(l+5)}{6!}x^6+\cdots \\ y_1&=x-\frac{(l-1)(l+2)}{3!}x^3+\frac{(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)}{5!}x^3-\frac{(l-5)(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)(l+6)}{7!}x^7+\cdots \end{aligned} $$我们发现，当 $(l-d)$ 出现在第 $i$ 项时，之后的每一项都会出现 $(l-d)$，所以如果我们让 $l=d$ 那么可以在第 $i$ 项“截断”它让它变成一个多项式
然而我们只能“截断”其中一个，被截断的那个称为勒让德多项式，或者第一类勒让德函数，记为 $P_l(x)$；没被截断的称为第二类勒让德函数，记为 $Q_l(x)$
假设我们截断后多项式的最高项系数为 $C_l$，当我们取
$$ C_l=\frac{(2l)!}{2^l(l!)^2} $$时，勒让德多项式呈现最简洁的形式，即：
$$ P_l(x)=\frac{1}{2^l}\sum_{m=0}^{M}(-1)^m\frac{(2l-2m)!}{m!(l-m)!(l-2m)!}x^{l-2m} $$其中：
$$ M=\begin{cases} \frac{l}{2} & l=0,2,4,... \\ \frac{l-1}{2} & l=1,3,5,... \end{cases} $$勒让德方程的通解是 $P_l(x)$ 和 $Q_l(x)$ 的线性组合，即：
$$ y=AP_l(x)+BQ_l(x) $$勒让德多项式的性质
递推公式
常⻅的勒让德多项式递推公式如下：
$$ \begin{gather*} (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \quad &n=1,2,3,... \\ P_n(x)=P'_{n+1}(x)-2xP'_n(x)+P'_{n-1}(x) \quad &n=1,2,3,... \\ xP'_n(x)-P'_{n-1}(x)=nP'_{n}(x) \quad &n=1,2,3,... \\ P'_{n+1}(x)-P'_{n-1}(x)=(2n+1)P_n(x) \quad &n=1,2,3,... \\ nP'_{n+1}(x)+(n+1)P'_{n-1}(x)=(2n+1)xP'_n(x) \quad &n=1,2,3,... \\ P'_{n+1}(x)=(n+1)P_n(x)+xP'_{n}(x) \quad &n=0,1,2,... \end{gather*} $$正交完备性与模
勒让德多项式满⾜正交性：
$$ \int_{-1}^1P_l(x)P_m(x)\mathrm dx=0\quad (l\ne m) $$满足完备性：若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 是分段光滑的，那么 $f(x)$ 可以按照勒让德多项式级数展开，即：
$$ f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}C_lP_l(x) $$其中，展开系数 $C_l$ 为：
$$ C_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1P_l(x)f(x)\mathrm dx $$勒让德多项式的模为：
$$ I_l=\int_{-1}^1P^2_l(x)\mathrm dx=\frac{2}{2l+1} $$微分表示——罗德⾥格斯公式
$l$ 阶勒让德多项式 $P_l(x)$ 的微分表示称为罗德里格斯公式：
$$ P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{\mathrm d^l}{\mathrm dx^l}(x^2-1)^l $$连带勒让德多项式
前面提到，连带勒让德方程是下面的式子：
$$ \begin{aligned} \sin\theta\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)-[l(l+1)\sin^2\theta+m]\Theta&=0 \\ (1-x^2)\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-2x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y&=0 \end{aligned} $$利用勒让德多项式：
$$ (1-x^2)\frac{\mathrm d^2P_l(x)}{\mathrm dx^2}-2x\frac{\mathrm dP_l(x)}{\mathrm dx}+l(l+1)P_l(x)=0 $$对它两边求 $m$ 阶导数，得到：
$$ (1-x^2)P_l^{(m+2)}(x)-2(m+1)xP_l^{(m+1)}(x)+[l(l+1)-m(m+1)]P_l^{(m)}=0 $$其中，由于 $P_l(x)$ 是 $l$ 阶多项式，所以求导次数不能超过 $l$，即 $m\le l$
这个式子也可以写成：
$$ (1-x^2)\frac{\mathrm d^2P_l^{(m)}(x)}{\mathrm dx^2}-2(m+1)x\frac{\mathrm dP_l^{(m)}(x)}{\mathrm dx}+[l(l+1)-m(m+1)]P_l^{(m)}=0 $$如果令：
$$ w(x)=(-1)^m(1-x^2)^\frac{m}{2}P_l^{(m)}(x) $$那么代入可以得到：
$$ (1-x^2)\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dx^2}-2x\frac{\mathrm dw}{\mathrm dx}+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]w=0 $$这正是连带勒让德方程，所以可以得到连带勒让德方程的解为：
$$ P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^\frac{m}{2}P_l^{(m)}(x) $$$P_l^m(x)$ 称为 $m$ 阶连带勒让德函数
由于勒让德方程中的 $m^2$ 的 $m$ 添加负号不影响，利用罗德里格斯公式，可以得到：
$$ P_l^m(x)=(-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}P_l^{-m}(x) $$当 $m=0$ 时，$P_l^m(x)=P_l(x)$，即勒让德多项式
所以，连带勒让德方程的解为：
$$ \begin{aligned} \Theta(\theta)&=P_l^m(\cos\theta) \\ y(x)&=P_l^m(x) \end{aligned} $$连带勒让德多项式的性质
正交完备性与模
连带勒让德多项式满足正交性：
$$ \int_{-1}^1P_l^m(x)P_k^m(x)\mathrm dx=0\quad (l\ne k) $$满足完备性：若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 是分段光滑的，那么 $f(x)$ 可以按照展开成连带勒让德级数，即：
$$ f(x)=\sum_{l=m}^{\infty}C_l^mP_l^m(x) $$其中，连带勒让德系数 $C_l^m$ 为：
$$ C_l^m=\frac{2l+1}{2}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^1P_l^m(x)f(x)\mathrm dx $$它的模为：
$$ \int_{-1}^1[P_l^m(x)]^2\mathrm dx=\frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!} $$微分方程的求解
第二个微分方程求解
第二个微分方程即：
$$ \frac{\mathrm d^2\Phi}{\mathrm d\varphi^2}+m\Phi=0 $$它的通解是：
$$ \Phi(\varphi)=Ae^{i\sqrt{m}\varphi}+Be^{-i\sqrt{m}\varphi} $$其中，$\Phi(\varphi)$ 满足周期性，即 $\Phi(\varphi)=\Phi(\varphi+2\pi)$，代入得到：
$$ Ae^{i\sqrt{m}\varphi}\left(e^{i2\sqrt{m}\pi}-1\right)+Be^{-i\sqrt{m}\varphi}\left(e^{-i2\sqrt{m}\pi}-1\right)=0 $$那么一定有：
$$ e^{i2\sqrt{m}\pi}=e^{-i2\sqrt{m}\pi}=1 $$所以，$m=z^2$，其中 $z\in\mathbb Z$，代入并且仍然用 $m$ 表示，得到：
$$ \Phi(\varphi)=Ae^{im\varphi}+Be^{-im\varphi} $$其中，$m\in\mathbb Z^+$
它有等价的表达式，即：
$$ \Phi(\varphi)=Ae^{im\varphi} $$其中，$m\in\mathbb Z$
第三个微分方程求解
第三个微分方程为：
$$ \sin\theta\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)-[l(l+1)\sin^2\theta+m]\Theta=0 $$前面提到它就是连带勒让德方程，解为：
$$ \Theta(\theta)=P_l^m(\cos\theta) $$角向解——球谐函数及归一化形式
角向解就是第二个和第三个微分方程解的乘积，即：
$$ Y_l^m(\theta,\varphi)=A_l^mP_l^m(\cos\theta)e^{im\varphi} $$其中，$l=0,1,2,...$，$m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm l$
常数 $A_l^m$ 在归一化时算出来是这样的：
$$ A_l^m=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-\vert m\vert)!}{(l+\vert m\vert)!}} $$球谐函数的实数形式表示为：
$$ Y_l^m(\theta,\varphi)=\begin{cases} \sqrt{2}A_l^m\cos(m\varphi)P_l^m(\cos\theta) & m>0 \\ \sqrt{2}A_l^m\sin(-m\varphi)P_l^{-m}(\cos\theta) & m<0 \\ A_l^0P_l^m(\cos\theta) & m=0 \end{cases} $$其中，$l=0,1,2,...$，$m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm l$
球谐函数的性质
正交完备性与模
归一化的球谐函数满足正交性，即：
$$ \iint_SY_l^m(\theta,\varphi)Y_n^k(\theta,\varphi)\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\varphi=0 \quad l\ne n \text{ or } m\ne k $$归一化的球谐函数的模长为 $1$，即：
$$ \iint_S[Y_l^m(\theta,\varphi)]^2\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\varphi=1 $$满足完备性：如果函数 $f(\theta,\varphi)$ 定义在 $0\lt\varphi\lt 2\pi$，$0\lt \theta\lt\pi$，假设它是 $\varphi$ 的周期函数（周期为 $2\pi$），这样能展开成球谐函数的级数：
$$ f(\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}C_l^mY_l^m(\theta,\varphi) $$其中，球谐系数 $C_l^m$ 为：
$$ C_l^m=\iint_SY_l^m(\theta,\varphi)f(\theta,\varphi)\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\varphi $$旋转不变性
球谐函数满足旋转不变性，假设我们有一个旋转变换 $R$，经过变换后球谐函数 $Y_l^m(R(\theta,\varphi))$ 可以表示为同阶的其他球谐函数的线性组合，而与其他阶无关，即：
$$ Y_l^m(R(\theta,\varphi))=\sum_{k=-l}^{l}A_l^{mk}Y_l^k(\theta,\varphi) $$那么，假设我们有：
$$ f(\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}C_l^mY_l^m(\theta,\varphi) $$在经过旋转变换之后：
$$ f(R(\theta,\varphi))=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}B_l^mY_l^m(\theta,\varphi) $$我们需要求出 $B_l^m$ 与 $C_l^m$ 的关系：
$$ \begin{aligned} f(R(\theta,\varphi))&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}C_l^mY_l^m(R(\theta,\varphi)) \\ &=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}C_l^m\sum_{k=-l}^{l}A_l^{mk}Y_l^k(\theta,\varphi) \\ &=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{k=-l}^{l}Y_l^k(\theta,\varphi)\sum_{m=-l}^{l}A_l^{mk}C_l^m \\ &=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\left(\sum_{k=-l}^{l}A_l^{mk}C_l^k\right)Y_l^m(\theta,\varphi) \end{aligned} $$所以有：
$$ B_l^m=\sum_{k=-l}^{l}A_l^{mk}C_l^k $$所以，我们只需要求出所有的 $A_l^{mk}$ 先把它们存下来，就可以进行低成本的旋转操作
先化成矩阵形式如下：
$$ \begin{bmatrix} B_l^{-l} \\ \vdots \\ B_l^l \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_l^{1,-l} & \cdots & A_l^{1,l} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_l^{l,-l} & \cdots & A_l^{l,l} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_l^{-l} \\ \vdots \\ C_l^m \end{bmatrix} $$表示成：
$$ \boldsymbol B_l=\boldsymbol A_l\boldsymbol C_l $$通过 Wigner D 矩阵可以得到 $\boldsymbol A_l$
3DGS 中的球谐函数
3DGS 中，通过球谐函数来对环境光进行“压缩”，得到颜色信息
在高斯椭球中，表面的颜色分布的每个通道可以看成一个函数 $C_i(\theta,\varphi)$，它可以用球谐函数进行展开，取前 $L$ 阶：
$$ C_i(\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{L}\sum_{m=-l}^lA_l^mY_l^m(\theta,\varphi) $$这样，颜色信息就被压缩成了 $A_l^m$ 这 $(L+1)^2$ 个参数，这就是 SH 系数，当 SH 系数用的越多，表达能力就越强，跟原始的函数就越接近