之前的章节中，矩阵变换是在三维或二维世界中排列对象的工具，矩阵变换的另一个重要用途是在“三维世界的二维视角”中的位置和三维世界中的位置进行转换

3D 到 2D 的映射叫做视图变换（viewing transformation），视口变换在对象顺序渲染中很重要，因为我们要频繁地查找每个对象在 2D 中的位置

第四章中，学习了不同类型的透视、正交视图以及如何生成观察射线。

本章是第四章的逆过程，本章将阐述如何使用矩阵变换来描述“平行视图”和“透视视图”，本章中的变换会将 3D 场景中的点投影到图像中的 2D 点，并且会将给定像素的观察射线上的任意点投影回像素的位置

把三维世界中的点投影到二维，仅仅能够做到线框（wireframe）的渲染，即物体边缘。距离摄像机更近的面不会遮挡更远的面

也就是这一章仅仅是线框的渲染，之后的章节会讨论对象表面的渲染

视图变换（Viewing Transformations）

视图变换的任务是将 3D 坐标 $(x, y, z)$ 映射到图像中的坐标（以像素为单位）

这是个复杂的过程，取决于摄像机的位置和方向、投影类型、视野、图像的分辨率等

与所有复杂的变换一样，最好将其分解为几个更简单的变换的乘积。大多数图形系统通过使用三个变换序列来实现这一点：

1. 相机变换（camera transformation）或视变换（eye transformation）：将相机放置在原点，并且朝向方便计算的方向（例如 $x$ 轴正方向？）。这一步仅取决于相机的位置、方向或者叫姿态（pose）
2. 投影变换（projection transformation）：将三维场景中的点映射到相机空间（camera space），所有点将在 $x$ 和 $y$ 方向上都落到 $-1$ 到 $1$ 的范围内。这一步仅取决于投影类型
3. 视口变换（viewport transformation）或窗口变换（windowing transformation）：将单位图像矩形映射到像素坐标系的矩形。这一步仅取决于输出图像的大小和位置

摄像机坐标系（camera coordinates）、摄像机空间（camera space）

规范视空间（canonical view volume）：$(x,y,z)\in [-1,1]^3$ 的一个正方体，$x=-1$ 和 $x=1$ 代表屏幕的最左侧和最右侧，$y=-1$ 和 $y=1$ 分别代表屏幕的最下边和最上边

视口变换（Viewport Transformation）

从规范视空间映射到屏幕空间（screen space），即将 $[-1,1]^2$ 映射到 $[-0.5,n_x-0.5]\times[-0.5,n_y-0.5]$

假设现在所有线段都在规范视空间内部，之后在讨论剪切（clipping）时，会放松这个限制

上一章有一个例子，提供了一个公式，如下：

写成矩阵形式：

我们把 $z$ 坐标加进来（之后的章节会进行深度测试），得到视口（变换）矩阵（viewport matrix）：

正交投影矩阵

这里的正交投影应该指的是平行正交投影，最简单的一种，只需要垂直移动到图像上就可以了

首先，将视线方向的方向记作 $-z$ 方向（与左手系、右手系有关），并且 $y$ 轴朝上

然后，框一个长方体 $[l,r]\times[b,t]\times[f,n]$

构成的空间被称为正交视图空间（orthographic view volume）

从正交视图空间到规范视空间的变换很简单：

写成矩阵就是：

从正交视图空间到屏幕空间变换就是把上面得到的两个矩阵相乘，即：

$z$ 轴现在在 $[-1,1]$ 区间内，之后使用 z-buffer 进行深度测试时需要

画线段的伪代码：

construct M_vp
construct M_orth
M = M_vp M_orth
for each line-segment (a_i, b_i) do
    p = M a_i
    q = M b_i
    drawline(x_p, y_p, x_q, y_q)

相机变换（Camera Transformation）

相机变换就是世界空间到相机空间的变换

有许多约定用于指定相机的位置和方向。我们将使用以下一种：

• 眼睛的位置 $\vec e$
• 注视方向（gazing direction）$\vec g$
• 相机的向上向量 $\vec t$

通过这三个向量来构建一个坐标系

首先构建一个正交基：

然后加上位移 $\vec e$，根据上一章的坐标系变换，我们可以得到变换矩阵：

这里用到了正交矩阵的性质。

画线段的伪代码：

construct M_vp
construct M_orth
construct M_cam
M = M_vp M_orth M_cam
for each line-segment (a_i, b_i) do
    p = M a_i
    q = M b_i
    drawline(x_p, y_p, x_q, y_q)

投影变换（Projective Transformations）

对于透视投影，我们要把空间中的点映射到规范视空间中，我们会用到 $z$ 坐标，并且 $z$ 坐标在分母上，如下（仅仅是举例子，并不是真的是这样）：

传统的矩阵变换做不到这样（除法）

我们使用一个简单的方法推广齐次坐标的机制来进行除法：

对于之前的齐次坐标，$(x,y,z)$ 表示为 $\begin{bmatrix}x& y& z & 1\end{bmatrix}^\mathrm T$，多出来的一维永远是 $1$，且仿射变换矩阵中的第四行永远是 $\begin{bmatrix}0& 0& 0 & 1\end{bmatrix}$

现在，我们让第四维是 $w$，$\begin{bmatrix}x& y& z & w\end{bmatrix}^\mathrm T$ 用来表示坐标 $(x/w,y/w,z/w)$，这对之前没有影响（因为除以 $1$ 没什么意义）

线性变换允许我们计算：

仿射变换允许我们计算：

将 $w$ 作为分母允许我们计算：

但是，还有一个限制，就是 $x$、$y$、$z$ 的除数相同

表示成矩阵形式如下：

并且：

这样的变换称为投影变换（projective transformation）或者单应变换（homography）

有一种更优雅的方式来解释 $w$ 坐标：3D 投影变换视作 4D 线性变换，并且额外规定：

这表示两个齐次坐标 $\vec x$ 与 $\alpha\vec x$（$\alpha\neq 0$）是同一个三维空间中的点

这些点构成了一条直线

在需要笛卡尔坐标时，只需要找到它和 $w=1$ 这个面上的交点就可以了

其实就是说给齐次向量乘上一个倍数不影响它表示的坐标

透视投影

使用投影变换后，前面的 $y_s$ 表达式可以写成：

根据惯例，在相机空间中，相机朝向 $-z$ 方向，近屏幕和远平面为 $n$ 与 $f$（都是负数），使用这样的变换：

为什么 $z$ 坐标不能直接使用呢？因为实现不了 $z'=z^2/z$ 的操作，只能通过相似的变换来实现。

规范视空间是 $[-1,1]^3$，为什么 $z$ 坐标没有映射到 $[-1,1]$ 上？因为这不是到规范视空间的变换，还要再乘上一个前面得到的 $\mathbf M_{\text{orth}}$

上面是最常用的一种变换，它保证了当 $z=n$ 和 $z=f$ 时有 $z'=z=n$ 和 $z'=z=f$

写成矩阵形式为：

这个矩阵被称为透视矩阵（perspective matrix）

变换为：

我们看一下 $\mathbf P$ 的逆：

由于乘上一个系数没有影响，我们乘上一个 $fn$，它的逆可以写成：

我们乘上 $\mathbf M_{\text{orth}}$ 之后就是透视投影矩阵（perspective projection matrix），注意是左乘：

一个问题是如何确定 $\mathbf M_{\text{orth}}$ 所需的 $l$、$r$、$b$、$t$，我们知道透视矩阵变换后，在 $z=n$ 面上 $x$ 与 $y$ 坐标不会改变，所以可以在这里确定 $l$、$r$、$b$、$t$

相乘之后 $\mathbf M_{\text{per}}$ 长这样：

在 OpenGL 中，它会让我们指定 $|n|$ 和 $|f|$

其他的图像 API 中，通常将 $n$ 设置为 $0$，将 $f$ 设置为 $1$

规范视空间有时还会设置为 $[0,1]^3$

上面的决策都会改变投影矩阵

变换线段的伪代码：

construct M_vp
construct M_per
construct M_cam
M = M_vp M_per M_cam
for each line-segment (a_i, b_i) do
    p = M a_i
    q = M b_i
    drawline(x_p, y_p, x_q, y_q)

透视变换的一些性质

直线性

一个重要性质是将线转换为线，将平面转换为平面，另外将线段转换为线段，例如，我们有这样的线段：

对它进行透视变换：

如果没有同质化，那么肯定存在线性关系，且 $t$ 不变，所以有：

经过同质化后，$\vec g(t)$、$\vec r$、$\vec R$ 变成了：

其中，我们如果可以找到一个线性关系：

我们就可以知道：原来是一条直线上的点，经过透视变换并同质化后仍然在一条直线上

进行一些操作：

如果我们表示成 $\vec {g_\text{h}}(t)$、$\vec {r_\text{h}}$、$\vec {R_\text{h}}$，那么总结一下，有：

经过透视变换后：

然后经过同质化后：

其中：

我们发现确实是这样，而且，$t'=f(t)$ 是个连续函数，确保不会被“撕裂（torn）”

视野（Field-of-View）

虽然我们可以使用 $l$、$r$、$b$、$t$ 来指定窗口，但是有一个更简单的方法：从窗口的中心观察，即 $l=-r$，$b=-t$

这样的话只需要两个自由度就能表示这个窗口

如果我们添加了这样一个约束：

来表示“图像的性质没有失真”，即二者比例相同。

一旦二者比值被指定，那么还需要一个自由度就可以表示这个窗口了，通常使用视野来指定：

在某些系统中，$n$ 被硬编码成一个合理的定值，那么我们只需要知道 $\theta$ 就可以计算出 $t$ 了

问题和练习

在透视矩阵中：

当有一个线段，它跨越了 $z=0$ 时会发生撕裂，即 $a/0=\infty$，$a/-0=-\infty$，这通常可以使用剪切来避免，但是撕裂现象使剪切本身变得更加复杂，之后会讨论

在透视变换之后，需要把 $w$ 坐标变成 $1$

1. 构建视口矩阵，其中像素坐标从图像顶部向下计数：

   $$ x'=n_x\frac{1+x}{2}-0.5=\frac{n_xx+n_x-1}{2}\\ y'=n_y\frac{1-y}{2}-0.5=\frac{-n_yy+n_y-1}{2} $$

   那么矩阵为：

   $$ \mathbf M_{\text{vp}}=\begin{bmatrix}\frac{n_x}{2} & 0& 0 & \frac{n_x-1}{2}\\0 & -\frac{n_y}{2}& 0 & \frac{n_y-1}{2}\\0 & 0& 1 & 0\\0 & 0& 0 & 1\end{bmatrix} $$

2. 视口矩阵与正交矩阵相乘的意义是：一个长方体映射到正方体，再将 $x$ 与 $y$ 坐标映射到屏幕空间。两个操作合在一起就是将 $[l,r]\times[b,t]\times[n,f]$ 映射到 $[-0.5,n_x-0.5]\times[-0.5,n_y-0.5]\times[-1,1]$

3. 略

4. 从代数角度证明透视矩阵保留了视场内的 $z$ 值顺序。略

5. 略

6. 略

7. 略

8. 略

9. 略

10. 使用前面的办法构建正交基即可？

11. 根据 $f(t)$ 很容易证